（同济版高等数学第八版上册 P31）函数极限的局部保号性：如果 lim⁡x→x0f(x)=A\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A，且 A>0A>0（或 A<0A<0），那么存在常数 δ>0\delta>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta 时，有 f(x)>0f(x)>0（或 f(x)<0f(x)<0）

直观上的理解：首先要知道 那么存在常数 δ>0\delta>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta 时 这句话的含义，将后面的不等式化简得到 x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)x\in(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)，即 x0∈U˚(x0,δ)x_0\in\mathring{U}(x_0, \delta)，而常数 δ\delta 可以是任意的，那么它可以是极小的，如此，我们就可以把这个条件看作是 xx 在 x0x_0 附近，且可以非常接近 x0x_0

因此，当 lim⁡x→x0f(x)=A>0\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=A>0 时，很容易理解 f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 的附近也是大于 00 的

…