收集一些有趣的杂题

1. 设函数 $f(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)·\cdots·(x-n)}{(x+1)(x+2)·\cdots·(x+n)}$，求 $f'(1)$

【解法一】

设 $g(x)=\dfrac{(x-2)·\cdots·(x-n)}{(x+1)(x+2)·\cdots·(x+n)}$，则 $f(x)=(x-1)g(x)$，$f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x)$

那么 $f'(1)=g(1)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$

【解法二】

$f'(1)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-2)·\cdots·(x-n)}{(x+1)(x+2)·\cdots·(x+n)}=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$

2. 设函数 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$，证明：$f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件

3. 设函数 $f(x)$ 满足下列条件：

（1）$f(x+y)=f(x)f(y)$，对一切 $x,y\in\R$；

（2）$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导

证明 $f(x)$ 在 $\R$ 上处处可导且 $f'(x)=f(x)f'(0)$

已知 $f(x)$ 是周期为 $5$ 的连续函数，它在 $x=0$ 的某个邻域内满足关系式

$$f(1+\sin x) - 3f(1-\sin x)=8x+o(x)$$

且 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(6,f(6))$ 处的切线方程